Beg v matematiko
Nedavno nenavadno nasilje – pokol na ameriški šoli in maltratiranja osnovnošolca ter gimnazijke na naših – me je pretreslo, ker je bilo skrajno tragično, obenem pa mediji razburjenje pretirano vzbujajo.¹ Poleg tega se mi obrača ob militarizmih ameriške NRA, Teda Nugenta in Branka Gradišnika, da je najbolje oborožiti neoborožene, pa že oboroženi in trigger-happy ne bodo prišli do strela. Obrača se mi, ker se zdi resnično.
V podobnih situacijah pobegnem, kot zavije pijanec v oštarijo. Tako sem vzel list in izpisal harmonično vrsto:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n + …
Ter meditiral ob tej zanimivi matematični entiteti. Čeprav gredo njeni zaporedni členi proti nič, vsota nima limite, ne konvergira k neki končni vrednosti, marveč divergira; neskončno členov se sešteje v neskončnost. Slika spodaj kaže levo prvih 33 delnih vsot, ki se dvignejo malo nad štiri. Če seštejemo milijon členov, je vsota še pod petnajst, kar kaže drugi del slike; vrsta divergira zelo zelo, ampak res zelo počasi: za vsoto sto je treba sešteti več kot deset na 49 členov.
Tu vprašanje se postavi: ker vrsta le preseže vsa števila in gre na primer prek vseh naravnih števil, pomislimo, ali ni katera delna vsota enaka naravnemu številu … No, to se res nikoli ne zgodi, kar je že marsikdo dokazal in tudi sam sem poskusil.²
1 Enako meni Jonas: Napovedujem naporen konec tedna.
2 Ali neuspešno. Potem sem bil na obisku pri kolegu, celo malo sorodniku, enemu naših najboljših mladih matematikov, olimpijcu Gašperju Zadniku in ga pobaral za nasvet. Pogled mu je okamenel, nič ni bilo več od njega pa sem šel domov, nakar čez par minut dobim njegovo sporočilo, da gre dokaz takole … Nisem dobro razumel vpleta nekega izreka o praštevilih, ampak jedro dokaza sem razumel tako dobro, da sem ga spremenil v naslednjega, v 90 odstotkih Gašperjevega: mislimo si delno harmonično vrsto 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n, kjer n ogradimo med 2^k (trdo) in 2^(k+1), kjer je k celo število in predpostavimo, da je delna vrsta enaka naravnemu številu M. Enačbo pomnožimo z L oziroma najmanjšim skupnim deliteljem števil od 1 do n, a brez 2^k. Na levi dobimo vsoto naravnih števil in kvocient L/2^k, ki ni naravno število, na desni pa je naravno število M krat L. To ne zdrži, zato M res ne more biti naravno število. • (Gašper je ene deset let mlajši od mene in jaz imam diplomo iz matematične fizike, ali fiziko in matematiko šteka dosti bolje od mene. Kako zelo mi gre to kdaj na živce; samo pri sebi seve …)
22.04.2007 ob 00:29
Če se komu zahoče odgovarjati na povsem nenagradna, a vprašanja na mestu, lahko poskusi s temi tremi:
— Kako luštno pokazati, da harmonična vrsta divergira?
— Kaj je s ‘praštevilsko’ harmonično vrsto (to bodi vrsta, podobna navadni harmonični, kjer je namesto zaporednega naravnega števila n n-to praštevilo), divergira ali mogoče konvergira?
— Enako vprašanje za ‘alternirajočo’ harmonično vrsto: 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + …
22.04.2007 ob 09:32
Kolikor vem, se da prvo dokazat z vsoto členov 2^-(log2 k) . Iz tega se vidi, da vrsta divergira in je brez limite.
22.04.2007 ob 10:08
harmonicna divergira ker lahko najdes tako k divergira in je manjsa od harmonicne.
alternirajoca konvergira ker grejo cleni proti nic in alternirajo po predznaku.
drgac pa ja, zadnik je kr car. bo koncou matematko po ene treh letih;)
22.04.2007 ob 11:50
Fak, pa to ni res, saj ne morem verjet.
22.04.2007 ob 11:52
Meni matematika števil takisto ne leži, vendar zgleda Gašperjev dokaz prav enostaven. Vsaj zdaj, ko je napisan. :) Sama bi se ga torej težko spomnila, sem se pa domislila lepega načina, kako pokazati, da harmonična vrsta divergira.
V vrsti 1 + 1/2 + 1/3 + … ooklepajimo zmeraj več členov po prvih dveh in sicer dva, štiri, osem, šestnajst … Takole:
1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + … + 1/8) + (1/9 + … + 1/16) + …
Vsi oklepaji so večji od 1/2 (prvi večji od 2 * 1/4, drugi večji od 4 * 1/8 itn.), jih je neskončno, ergo vsota pobegne.
Zigova ideja o alternirajoci vrsti je v pravi smeri, se pa le sprašujem, kam vsota konvergira.
22.04.2007 ob 13:38
Alternirajoča vrsta je ravno Taylorjev vrsta od ln 2.
22.04.2007 ob 15:19
Točno, to da razvoj naravnega logaritma okoli enke. Bravo.
Zanimivo je izpostaviti -1/2 pri členih s sodimi imenovalci v alternirajoči vrsti. V oklepaju ostane harmonična vrsta, ki je neskončna. Minus polovica te neskončnosti plus vsota z lihimi imenovalci je torej končni logaritem dve.
5.06.2007 ob 20:00
[...] harmonični vrsti sem že pisal: Beg v matematiko (22.4.). [...]
5.06.2007 ob 20:28
OMG …jaz pa študiram didaktiko matematike za prvo in drugi triado :mrgreen:
…. veliko uživancije – pri razvijanju tega primera – še naprej :D
9.06.2007 ob 23:30
Kolikor vem se to dokaze z integralom: int(0..neskoncno) 1/x dx = ln(x) + c, in ko gre x proti neskoncno gre tudi logaritem proti neskoncno.