Dilema na Luni
Dilema je lema z dvema rešitvama in o eni na Luni pravi Miki Muster v stripu Na Luno. Tam odletijo Zvitorepec, Trdonja in Lakotnik na Luno, kjer se spečajo z Luniki. Ti so čudni. Vsi izgledajo isto kot Lakotnik. Spoznajo se, ko Lakotnika zmoti ropot, ki ga povzroča lunarski poštar na vozilu - s štirioglatimi kolesi. Lakotnik bi mu rad pomagal, a Lunika zbega, kar ga ujezi pa poštarju iztrga kolo iz mednožja ter ga razrezbari v okroglega. Lakotnik je tak preprost človek, ki ne pozna narave dileme, ampak pljune v roke pa situacijo vselej reši intuitivno. (Rad ga imam!) No, dilema z Lune - problem štirioglatih koles - ima vendarle dve rešitvi. Naj povem za drugo, tole je iz stripa:
Zadnjič sem pravil o katenoidi (verižnici); krivulji, ki opisuje obliko obešene vrvice, podvržene le lastni teži. V enako zanimivi luči jo kaže animacija spodaj. Krivulja je tu obrnjena na glavo in s pravo odmerjenim rezanjem ter spajanjem periodična. Po takšnih tleh bi se poštar z n-kotnimi kolesi peljal mirno, netresaje.[1,2,3,4,5]
-prazna vrstica-
Opombe:
- Takšno kolesarjenje je mogoče le v 2D, v 3D bi se morala topografija tal spreminjati v realnem času glede na smer vožnje …
- Matematik Stan Wagon je vožnjo s štirioglatim kolesom uspešno preskusil (slika desno spodaj).
Le vožnja s trikotniki ni mogoča. Slikosuk najbolj zgoraj tega ne pokaže prepričljivo, vendar se trikotno kolo s svojim ostrim vogalom pri vožnji po klancu navzdol zarije v nasprotni klanec navzgor, kar nazorneje pokažeta približani in upočasnjeni oziroma bolj ločljivi animaciji za trikotno in štirikotno kolo spodaj.
Matematika izračuna je takšna, da se trikotniku ne uspe zakotaliti v špranjo, ne da bi popraskal drugo ritnico, štirikotniku pa to znese. Očitno je, da oba z vogalom lepo pašeta med ritnici (to je v bistvu pogoj za oblikovanje in rezanje verižnice), ampak trikotnik je s svojima topostjo zunanjega kota in dolgo stranico enostavno preneroden. Premišljeval sem, kako bi določil največji realni n nerodnega n-kotnika. Očitno to ni več fizikalen problem (hm, 3.43-kotnik?), ampak matematičnemu izrazu je vseeno, ali ga hranimo z naravnim ali realnim. Tako lahko spremljamo poti oglišča, ki gre v špranjo, in drugo ritnico.
Ali imata krivulji poti skupno presečišče? V primeru trikotnika sta presečišči dve: na mestu prvega vboda in na dnu špranje. V primeru štirikotnika je skupna točka samo ena, na dnu špranje. Graf desno kaže neovrednotene vrednosti presečišč v odvisnosti od n na intervalu od 2.5 do 4.5 s korakom 0.05. Prvi fizikalno možen n-kotnik (n zdaj realno število) je štirikotnik, vsi fiktivni manj-kontniki, recimo 3.9-ali-pi-ali-2.7-kotniki, pustijo prasko. Šele in prav pri n = 4 se rešitvi stopita v eno samo.- Slikosuk najbolj spodaj kaže 14-kotno kolo. V limiti, ko gre n proti neskončnosti, je n-kotnik krog. Ali je potemtakem naša ravna Zemlja iz kratkih in spetih odrezkov obrnjenih verižnic? Ave catena!
- Če koga zanima bolj točna matematika za slikami, naj mi sporoči, rad povem vmesne rezultate.
4. januar 2007 ob 08:41
aja… čemu pa to služi … bomo spet imeli kockaste rimske ceste….
4. januar 2007 ob 08:55
če se kdo vpraša čemu služi. pol je v redu. glede trikotnika se intuitivno strinjam.
4. januar 2007 ob 09:35
Pameten, večina matematike ne služi ničemur - ampak zakaj ne upoštevaš tega, da bi Lunikom izboljšali zdravje? -, kar bi v trem trenutku prinašalo neke dobrine, kot je denar, ampak mogoče enkrat … No, po drugi strani se da videti veliko takšne matematike v teh novih risankah, ki jih rišejo z računalniki - denimo Pixar: Neverjetni, Nemo … - pa prinašajo dosti denarja. Tam je matematika kajpak majčken delček celotne produkcije. Ampak je.
4. januar 2007 ob 10:00
Vau. Ti imaš prav gotovo tudi kak odgovor na teleportacijo, a ne? A lahko še o tem kdaj kdaj napišeš!! Jaz recimo veliko razmišljam o tem, kako bi pospešili gibanje. Da bi za neko razdaljo, za katero z avtom porabimo štiri ure, porabili deset minut …ali še manj…
4. januar 2007 ob 10:02
Nekaj je gotovo: Štirinajstkotna kolesa na ustreznih cestah ne bi drsela (vsaj ne naprej in nazaj), torej bi bilo manj prometnih nesreč. Gradnja takih cest pa bi bila bistveno dražja in bi si jih v Sloveniji lahko privoščilo le Ministrstvo za obrambo.
4. januar 2007 ob 12:06
Navdušen sem. Eden redkih blogov, ki ga prebiram z užitkom.
Glede vožnje s trikotnikom: Vzrok tudi po moje leži v kotu trikotnika, ki seveda pogojuje “zaokroženost” verižnice. V nezveznih delih verižnice očitno tangenti oklepata kot manjši od 90° (kot, v katerega se zarije trikotnik), ki je po intuiciji pogoj za takšno vožnjo.
Imam pa eno vprašanje, v bistvu že bolj filozofske narave, nanaša pa se na 4. točko. V limiti (n->neskončno) je n-kotnik krog - intuicija mi nekako pravi, da je to to. Zdaj pa če pogledamo obratno: ima krog neskončno veliko oglišč oz. kotov, je sestavljen iz samih oglišč oz. kotov, ali pa morda nima nobenega oglišča oz. kota? Sam zagovarjam varianto, da nima nobenega oglišča oz. kota, ker mu znamo zračunati obseg, ki je končen. Če bi imel oglišča oz. kote, bi ga lahko drobili podobno kot Kochove snežinke in bi imel neskončen obseg ter bi veljal za fraktal, čemur pa ni tako. Se motim?
4. januar 2007 ob 12:49
Mislim, da se motiš v tem, da “krogu znamo izračunati obseg, ki je končen”.
Krog sicer nima kotov, ampak obseg je izračunan s pomočjo številke Pi (3,14159…), ki je le približna.
4. januar 2007 ob 13:35
Aly, res, saj to se vidi, n-kotnik določi n, ta pa naprej določi obliko tal (razpotegnjena, bolj šobasta) in interval rezanja verižnic, ki se jih spoji. Zaradi slednjega, pomni, so tla zvezna (povsod zvezana), niso pa odvedljiva, ker je strmina enega hribča drugačna strmini naslednjega hribčka tam v skupnih točkah, špičkah. (Odvod tal je torej tisti, ki je nezvezen, ne tla sama.) Bolj ločljiva animacija lepše pokaže, kako se trikotnik zarije v tla. Nisem pa še dobil pravega navdiha, kako bi to poračunal. Verjetno je problem iskanja presečišč, pri štirikotniku ni rešitve, pri trikotniku pa je. Posebej me zanima zvezno obnašanje vmes (realna števila med n = 3 in n = 4), to obnašanje res ni fizikalno mogogče (3.5-kotnik?), je pa mogoče tako s številkami, torej za zabavo; zanima me skratka pri katerem realnem n (mogoče pi? :nasmešek:) se ta ‘n-kotnik’ še zarije v tla.
Imaš zanimivo vprašanje, seveda pa nanj nimam odgovora, ki bi naju popolnoma premaknil iz filozofskega. Saj je smešno, po eni strani se n-kotnik lahko približuje krogu, po drugi strani pa je krog kot abstraktna entiteta zelo preprosta stvar - pač črta okrog. Jaz bi karikirano rekel, da se v limiti vsa množica kotov in oglišč n-kotnika ‘zlepi’ (angl. merge) v popolno, PRAZNO množico točk in kotov, nastane pa ‘črta naokrog’, krog, ki ga vsebuje nova množica … morda zato razni grafični programi ločijo med grafičnima primitivoma točke in kroga. Na simbolni ravni so zanje točke atomi (zares nedeljivi) in krogi atomi. Za bolj poglobljen študij ti priporočam filozofijo modelov obstoja in razmerij med tremi svetovi: fizičnim, mentalnim pa svetom Platonovih matematičnih entitet [1]. V slednjem biva, denimo, krog. V naši računalniški praksi (fizični svet) je krog vselej množica točk naokrog, njihova ločljivost omejena s številsko natančnostjo. Zdaj mislim, da je problem tvojega vprašanja v tem, da meša jabolka in hruška, fizični in Platonov svet. Res imata nek presek, v bistvu pa se le malo prekrivata. Enkrat sem prebral izjavo filozofa Žižka, ki pravi, da je danes glavna naloga filozofov postaviti pravo vprašanje. Tvoje vprašanje po najino ni pravo. :)
Drobljenje krožnih lokov se zdi podobno drobljenju oboda Kochove snežinke, ampak je razlika v limitiranju izrazov za obseg. Izraz za obseg Kochove snežinke je geometrijska vrsta s faktorjem večjim od 1, zato pobegne v neskončnost, izraz za obseg n-kotnika pa je zanimiv primer kvocienta sinusne in linearne funkcije, ki ima končno limito - obseg kroga.
Opomba [1]: O tem gre na primer poglavje THREE WORLDS AND THREE DEEP MYSTERIES v knjigi THE ROAD TO REALITY R. Penrosea (Knopf: New York 2005, str. 17).
4. januar 2007 ob 14:54
Se opravičujem, mislil sem odvedljiva, da.
Pravzaprav vprašanje o krogu ni moje, ampak me je nanj (in še mnoge podobno zanimive druge) angažiral kolega. Kot sem že vseskozi sumil, je menda kar res - vzrok za zanimivo diskusijo je ravno površno poznavanje področja (oz. zavedanja, da sta svetova več kot dva!). Po eni strani sem vesel, da vem, kje sva zabluzila, po drugi strani pa sem ob en poligon za igranje z domišljijo. Ampak teh je še dosti, sploh pa to nima nobene zveze s to temo tukaj.
Mi je pa všeč Žižkova izjava. Sem se očitno močno precenil, ko sem označil svoje vprašanje kot filozofsko. Ostaja pa “filozofsko” v mojem svetu, ker pač nanj ne najdem dovolj trdnega odgovora :]
No, pa nazaj k temi. Kako dobiti minimalen n, s katerim je “vožnja” še mogoča? Animacija na povezavi do eksperimenta z verižnico mi je dala eno idejo. Opazuješ dve krivulji, ki sta odvisni le od n. To sta tla t(n) in pa pot, ki jo opravi eno oglišče trikotnika v(n) (http://shrani.si/files/thrillrideqfl9.jpg). Da se vogal optimalnega n-kotnika ne bo zarival v tla, mora veljati t(n)
4. januar 2007 ob 14:55
Aly, rad bi komentiral še nekaj, kar se mi zdi zanimivo. Zadnja animacija kotaljenja 14-kotnika še kar dobro kaže limitiranje sistema: kolesa gredo v ogromno-kotnike, tla pa so speta iz majcenih odrezkov verižnic. Kmalu od njih ostanejo samo še vrhnje točke, temena - to je zanimivo, neodrezane verižnice limitrajo proti navpičnim črtam, t.i. funkcijam delta -, od ogromno-kotnika pa ostane neskončno točk, ki menjaje skačejo iz enega na naslednje teme. Ampak potem, potem se vsa razbohota spremeni v nekaj sila preprostega: verižnice se stopijo v ravno črto, oglišča pa v krog. Ta preskok se mi prav tako zdi zanimiv. Se pa seveda realizira šele v limiti, ki je zopet matematična entiteta ali idealizacija … Ampak za napenjanje možganov je dovolj. :)
4. januar 2007 ob 15:00
Hm, zgleda mi je neenačba požrla del odgovora (znak <) :]
… Da se vogal optimalnega n-kotnika ne bo zarival v tla, mora veljati t(n) <= v(n). Poiskati je torej treba minimalni n na intervalu (3,4), ki zadosti tej neenačbi, ko “vozilo” premaguje en hribček (zaradi periode je dovolj). Ne vem, če sem odkril kaj, česar še ne veš oz. če se tako preoblikovan problem sploh da rešiti (vsaj numerično), ampak vseeno ;)
4. januar 2007 ob 15:04
Aly, ja, v tej smeri sem razmišljal, tako bi se moralo dati postaviti problem … ves čas sem tudi upal na kaj bolj, hm, elegantnega … Le še ponavljam, da Žižek ne pravi, da vprašanje ne more biti dobro, samo da ni pravo. :)
4. januar 2007 ob 15:17
Ok, mislim, da že čutim, kaj je dobro in kaj pravo. Dobrih je lahko precej, so boljša in še boljša, vendar je samo eno najboljše - tisto pravo :)
Sicer je pa res najbolj zanimivo ravno mejno obnašanje oz. preskoki v idealizirane pojme. Kar težko se človek sprijazni, da v tem primeru nekakšni kvanti skoki v nekem (sicer neskončno dolgem [:) trenutku čisto izginejo.
Kar pa se tiče mojih izbruhov matematične elegance: bi se jih dalo prešteti na prste ene roke. Mizarjeve :)
4. januar 2007 ob 23:29
Pameten, uvodni komentator, s teboj sem se zbujal in s teboj grem v posteljo, glede uporabnosti:
Physics is like sex: sure, it may give some practical results, but that’s not why we do it. — R. P. Feynman
(Fizika je precej matematična, matematizirana pa itak.)
6. januar 2007 ob 13:48
Sem poračunal presečišče (ter razširil tretjo opombo), kot je predlagal Aly, in, neverjetno, prav z n = 4, je gladko kotaljenje (brez vbodov) že mogoče.
20. februar 2007 ob 22:03
[…] Morda kdo pozna Platonovo delitev vesolja na - le malo presečne svetove: fizike, idej in matematičnih entitet - pa ve, o čem govorim. Sicer usmerjam h komentarju starejšega zapisa. […]